Este cursillo persigue entregar las herramientas básicas de la teoría de cadenas de Markov a estados discretos, con una breve mirada a los procesos markovianos de saltos y a las difusiones. El énfasis está puesto en propiedades cualitativas de los procesos, y sus aplicaciones a problemas de modelación de sistemas bioloógicos: desplazamientos aleatorios de individuos, dinámicas de poblaciones bajo estocasticidad ambiental, genética de poblaciones bajo distintas hipótesis de neutralidad, mutación, selección, etc.

Clase 1: Cadenas de Markov

• Ejemplo clave: paseo aleatorio en ℤ y ℤ²
• Dependencia Markoviana
• Probabilidades de transición
• Recurrencia y transiencia
• Distribuciones invariantes, convergencia
• Ejemplos biológicamente inspirados

Clase 2: Modelos de dinámica de poblaciones

• Modelos de nacimiento-muerte a tiempo continuo: una breve ojeada
• Procesos de nacimiento y muerte (proceso de Yule, proceso de Moran, etc.)
• Procesos de Galton-Watson: extinción-persistencia
• Dinámicas de poblaciones interactuantes: modelo Poisson-Lotka-Volterra

Clase 3: Genética de poblaciones

• WF neutral, con mutación, con selección
• Fijación, distribuciones invariantes, etc
• Dualidad: procesos de linaje ancestral, coalescente de Kingman, y derivados

Clase 4: Aproximaciones de difusión

• Martingalas como modelos de ruido
• Una brevísima pincelada al movimiento browniano: desde paseos aleatorios a martingalas continuas
• Ecuaciones diferenciales estocásticas: un appetizer
• Modelo de Lotka-Volterra estocástico y difusiones de Wright-Fisher